1899
Hilbert et la géométrie
En 1899, le mathématicien allemand David Hilbert publie Grunlagen der Geometrie (Fondements de la géométrie).
Il est déjà un savant reconnu, notamment pour ses travaux d'algèbre (par exemple son théorème de la base finie). Dans l'ouvrage paru à la veille du XX° siècle, Hilbert cherche à fonder à nouveau les bases de la géométrie.
En effet, cette branche des mathématiques, déduite jusqu'au XVIII° siècle à partir des axiomes que le mathématicien Euclide avait posés au III° siècle avant notre ère, a besoin de trouver d'autres fondations plus générales. Outre la géométrie plane et la géométrie dans l'espace (son prolongement dans un espace à trois dimensions), d'autres théories moins intuitives sont apparues au XIX° siècle.
Déjà au XVII° siècle, John Wallis et Giovanni Girolao Sacherri s'étaient heurtés à l'indémontrabilité du 5° postulat d'Euclide (pour lequel une droite et une seule parallèle à une autre passe par un point, ou ce qui revient au même, la somme des angles d'un quadrilatère est égale à quatre angles droits). Ces deux mathématiciens rejetèrent ces pistes trop éloignées de notre intuition basique. Plus tard, Johann Henrich Lambert et surtout Carl Friedrich Gauss développèrent des résultats mais répugnèrent à les publier.
A partir de 1829, Nicolaï Ivanovitch Lobatchevski puis Janos Bolyai fondent séparément la géométrie hyperbolique, où la somme des angles d'un triangle peut être inférieur à un angle plat. Plus tard, à partir de 1867, Bernhardt Riemann développe une géométrie elliptique où les somme des angles d'un triangle est supérieure à un angle plat. Le cas extrême de cette dernière géométrie est la "géométrie sphérique" où la surface d'une sphère est définie comme un espace à deux dimensions et où la somme des angles d'un triangle peut valoir huit angles droits (le triangles recouvre alors toute la sphère).
Le projet de Hilbert est d'englober toutes ces géométries. L'ouvrage qu'il publie rend compte de la géométrie plane d'Euclide comme un cas particulier, nécessitant la production de vingt-et-un axiomes, classés en cinq "groupes" (axiomes d'appartenance, d'ordre, de congruence, de parallèle et de continuité).
Loin de sembler irréalistes, le développement de telles géométries permet de rendre plus méthodique l'étude de la surface d'une sphère (utile en navigation, en astronomie etc.) ou rend applicable les théories de la Relativité développées par Albert Einstein moins de vingt ans après (avec des masses qui courbent l'espace).