Désormais, la date du 15 septembre 2024 figure au pinacle de l'Histoire des Mathématiques : il y a maintenant un avant et un après de cette date. En effet, ce jour paraît une prépublication de la solution de la conjecture de Langlands. Ce texte (d'un millier de pages techniques à l'extrême) présente la solution par laquelle tout problème insoluble dans l'un des domaines (algèbre, analyse, géométrie) peut être importé et résolu dans l'un des deux autres puis réimporté dans son domaine d'origine.
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Deux exemples simples permettent de comprendre l'importance de ce résultat. Dans le premier, l'on connaît l'échec de Pythagore de trouver un nombre rationnel racine carrée de 2 : en effet, ce nombre très proche de 1,41421356 n'est pas un nombre quotient de deux nombres naturels. Le problème, insoluble dans l'arithmétique de son temps a pour autant une solution très simple en géométrie : c'est la diagonale d'un carré de côté 1. Ce problème insoluble avant l'invention des nombres réels est parfaitement résolu en géométrie élémentaire.
Un autre exemple simple permet de comprendre l'importance de passer de l'algèbre à la géométrie : pourquoi le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif ? La géométrie permet de résoudre simplement ce problème : dans un plan orthonormé, il suffit de comprendre ce qu'est une homothétie. En algèbre, il faut avoir inventé les nombres complexes ou (solution voisine) le calcul matriciel.
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Les problèmes qui se trouvent posés aux chercheurs en mathématique sont autrement plus complexes mais de même nature. Un problème insoluble en géométrie peut trouver une solution simple s'il est transposé en algèbre ou en analyse et vice-versa.
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Ce remarquable résultat est dû au travail d'une équipe de Mathématiciens hors pairs dirigée par le Professeur Dennis Gaintsgory, associé à son collègue (et ancien étudiant) Sam Raskin et constituée également par sept autres chercheurs.
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La solution présentée, une fois validée, résoudra les problèmes posés par le passage de l'un des domaines à l'autre et légitimera définitivement les questions liées à ce changement de domaine. Au jour de l'écriture de cette note, le 2 novembre 2024, l'on n'a encore aucune idée sur les retombées de cette démonstration, mais tous les Mathématiciens présument de véritables révolutions en Mathématiques, sans même évoquer les applications pratiques de cette solution (en biologie, en technologie et dans une foule de sciences théoriques ou appliquées) !
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La seule affirmation que l'on peut formuler ce jour est que cette équivalence apportera un nombre infini de solutions théoriques et techniques, véritable "couteau suisse" des Mathématiques. Voici pourquoi il faut célébrer ce jour du 15 septembre 2024 comme une date clé de toute l'Histoire mondiale des sciences.
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