On appelle "Solides de Platon" les cinq polyèdres réguliers convexes connus par la géométrie euclidienne dans l'espace (à trois dimensions). Ce sont le tétraèdre (pyramide à trois faces similaires à la base), le cube, l'octaèdre (fusion par la base carrée de deux pyramides à quatre faces en formes de triangles équilatéraux), le dodécaèdre et l'icosaèdre.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Les nombres remarquables des figures géométriques sont présentables dans le tableau suivant 

​

​

​

​

​

​

​

​

 

 

On remarque que les nombres d'arêtes sont des multiples de 6, respectivement par 1, 2 et 5. Ces trois derniers nombres sont les carrés de 0, 1 et 2, chaque fois augmentés de 1. On les désignera par N

​

Par ailleurs, le nombre de surfaces du cube est égal au nombre de sommets de l'octaèdre et inversement. La même remarque s'applique aux relations entre le dodécaèdre et l'icosaèdre. Donc les produits des nombres de surfaces par celui des sommets est le même pour ces solides pris deux à deux. Soient A le nombre d'arêtes, S le nombre de surfaces et T le nombre de sommets, on obtient le tableau suivant, valable pour chacun des cinq polyèdres :

​

​

​

​

​

​

​

 

En considérant que S et T sont les deux racines d'une équation du deuxième degré à une inconnue, et que les nombres de figures du tétraèdre peuvent être les racines doubles d'une telle équation, on obtient :

​

​

​

​

​

​

​

Le dernier tableau permet de synthétiser en deux formules tous les nombres du premier tableau.

​

Le scribe se pose alors deux questions :

​

- Est-ce que ce résultat apporte quelque chose à la Géométrie ou à l'Analyse ?

​

- Pourquoi les indications pour n =3 ne fournissent pas de polyèdre régulier ?

  Si n = 3, N = 10, A = 60 et l'équation devient :

   

​

​

 

On aurait un polyèdre à 60 arêtes, 13 ou 49 surfaces et 49 ou 13 sommets. Mais est-ce bien raisonnable ?

Merci de bien vouloir communiquer au scribe les réponses à ces questions.

​

​