Tablette Plimpton 322
Cette tablette date d'environ 1800 ans avant notre ère.
Ayant été rachetée vers 1922 d'une fouille illégale, on ne connaît pas exactement sa provenance en Iraq.
Elle représente un tableau de chiffres et de nombres. Les deux colonnes médianes reportent à chaque fois deux nombres d'un triplet pythagoricien.
TRADUCTION DE LA TABLETTE (avec lecture des lacunes) :
(0:) 59 : 00 : 15 01 : 59 02 : 49 ; 01
(0:) 56 : 56 : 58 : 14 : 56 : 15 56 : 07 01 : 20 : 25 ; 02
(0:) 55 : 07 : 41 : 15 : 33 : 45 01 : 16 : 41 01 : 50 : 49 ; 03
(0:) 53 : 10 : 29 : 32 : 52 : 16 03 : 31 : 49 05 : 09 : 01 ; 04
(0:) 48 : 54 : 01 : 40 01 : 05 01 : 37 ; 05
(0:) 47 : 06 : 41 : 40 05 : 19 08 : 01 ; 06
(0:) 43 : 11 : 56 : 28 : 26 : 40 38 : 11 59 : 01 ; 07
(0:) 41 : 46 : 45 : 14 : 03 : 45 13 : 19 20 : 49 ; 08
(0:) 38 : 33 : 36 : 36 08 : 01 12 : 49 ; 09
(0:) 35 : 10 : 02 : 28 : 27 : 24 : 26 : 40 01 : 22 : 41 02 : 16 : 01 ; 10
(0:) 33 : 45 45 01 : 15 ; 11
(0:) 29 : 21 : 54 : 02 : 15 27 : 59 48 : 49 ; 12
(0:) 27 : 00 : 03 : 45 02 : 41 04 : 49 ; 13
(0:) 25 : 48 : 51 : 35 : 06 : 40 29 : 31 53 : 49 ; 14
(0:) 23 : 13 : 46 : 40 56 01 : 46 ; 15
Ce tableau de nombres - notés en système sexagésimal - redonne celui-ci en système décimal :
A B C D
0,983402 777777 8 119 169 1
0,949158 558390 1 3367 4825 2
0,918802 126736 1 4601 6649 3
0,886247 906721 5 12709 18541 4
0,815007 716049 4 65 97 5
0,785192 901234 6 319 481 6
0,719983 676268 9 2291 3541 7
0,696320 529513 9 799 1249 8
0,642669 444444 4 481 769 9
0,586122 566110 3 4961 8161 10
0,5625 45 75 11
0,489416 840277 8 1679 2929 12
0,450017 361111 1 161 289 13
0,430238 820301 8 1771 3229 14
0,387160 493827 2 56 106 15
A chaque rangée, les nombres B et C sont deux des trois nombres pythagoriciens. Nous vous donnons le troisième, E, en Annexe.
On vérifie que :
B/C fournit le cosinus d'un angle dont A est le carré de la tangente,
A est classé en ordre décroissant à partir de 1, dans l'ordre indiqué par D,
B/E au carré est égal à A, sauf erreur de calcul.
Il est normal que A soit le carré d'une valeur précise puisque les Sumériens et les Babyloniens utilisaient des tables de carrés pour calculer des produits, selon la forme non classique de l'identité remarquable suivante :
(X + Y) au carré moins les carrés de X et de Y donne le double de XxY.
Ce tableau numérique fournit donc l'ancêtre d'une table de nombres pythagoriciens et en même temps celui d'une table trigonométrique...
Quant à la question de savoir comment les Mésopotamiens de l'Antiquité sont arrivés à l'élaborer, et ce qu'ils connaissaient par ailleurs, nul ne peut aujourd'hui le dire.
ANNEXES
1) Liste des troisièmes nombres pythagoriciens en fonction de D :
1 : 120 ; 2 : 3456 ; 3 : 4800 ; 4 : 13500 ; 5 : 72 ; 6 : 360 ; 7 : 2700 ;
8 : 960 ; 9 : 600 ; 10 : 6480 ; 11 : 60 ; 12 : 2400 ; 13 : 240 ; 14 : 2700
et 15 : 90.
2) Il subsiste deux erreurs :
à la ligne 8 : la vraie valeur de A est 0:41:33:45:14:03:45 et non 0:41:46:45:14:03:45,
à la ligne 2 (à partir de B/E au carré), A est 0:56:56:58:14:50:06:15 et non le résultat lu partiellement 0/56:56:58:14:56:15.
Nous serions infiniment heureux si un Internaute pouvait nous donner une bonne explication sérieuse sur la manière dont les Mésopotamiens du deuxième millénaire avant notre ère ont pu élaborer cette table...